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<!DOCTYPE html>

<title>Logarithmus</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Logarithmus</h1>

</header>

</div>

Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von <a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a> λόγος <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμός, arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a>, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind zunächst nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv – und von 1 verschieden – sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ist also diejenige Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, welche die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{y}=x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{y}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b51b8dcca3e64714e2f3aba12bb8c68812f77cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.475ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{y}=x}" loading="lazy"> löst. Man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\log _{b}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\log _{b}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fcc865be8647295906e5c55a978b0df18224d55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.302ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=\log _{b}(x)}" loading="lazy">; weitere Notationen siehe <a href="#Bezeichnungen">Bezeichnungen</a>. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{b}(x)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cad5f91f24392d04f1c9324d7154401e1ce3bca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.048ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}(x)}" loading="lazy">, ist damit eine <a href="Umkehroperation" title="Umkehroperation">Umkehroperation</a> des <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Potenzierens</a>. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">.

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/470e0b2fe9a367d7796e6d0b4243b2b891e15f63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.744ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}" loading="lazy"> zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-<a href="Diode" title="Diode">Diode</a>, die Spirale eines <a href="Schneckenhaus" title="Schneckenhaus">Schneckenhauses</a> oder die <a href="Schalldruckpegel" title="Schalldruckpegel">Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken</a> durch das menschliche <a href="Ohr" title="Ohr">Ohr</a>.

Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus <a href="Indien" title="Indien">Indien</a> überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von <a href="John_Napier" title="John Napier">John Napier</a> im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Überblick">Überblick</h2></div>

Die Verwendung des Logarithmus lässt sich bis in die <a href="Geschichte_Indiens" title="Geschichte Indiens">indische Antike</a> zurückverfolgen. Mit dem aufstrebenden Bankwesen und dem Fortschritt der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> im Europa des 17. Jahrhunderts erlangte der Logarithmus immer mehr Bedeutung. Seine Funktionswerte wurden in Tabellenwerken, den <a href="Logarithmentafel" title="Logarithmentafel">Logarithmentafeln</a>, erfasst, um sie nachschlagen zu können und nicht immer neu berechnen zu müssen. Diese Tabellen wurden schließlich durch <a href="Rechenschieber" title="Rechenschieber">Rechenschieber</a> und später durch <a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechner</a> verdrängt. Der Wechsel von den Tabellen zum Rechenschieber erfolgte in deutschen Schulen in den 1960er Jahren, der Wechsel zu Taschenrechnern ab den 1970er Jahren.

Zentrale Aspekte des Lebens lassen sich mit Hilfe von Logarithmen beschreiben. So nimmt zum Beispiel die Stärke eines Sinneseindrucks in Abhängigkeit von einer physikalischen Größe wie Helligkeit oder Lautstärke entsprechend dem Verlauf einer Logarithmusfunktion zu. Gleiches gilt für die wahrgenommene <a href="Tonh%C3%B6he" title="Tonhöhe">Tonhöhe</a> in Abhängigkeit von der <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> eines Tones.

Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78b7f24ed14a7c221b2560041873b1203b1d99ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.055ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y,}" loading="lazy"></dd></dl>

der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine <a href="Addition" title="Addition">Addition</a> auszudrücken.

Formal sind Logarithmen alle <a href="L%C3%B6sung_(Mathematik)" title="Lösung (Mathematik)">Lösungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Gleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=b^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e0d41999490d3b78bd442fda1a94d3f1e12a8f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.498ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a=b^{x}}" loading="lazy"></dd></dl>

zu vorgegebenen Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">.

Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche Größen diese <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> betrachtet wird, hat sie keine, mehrere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann wird sie als der Logarithmus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> bezeichnet und man schreibt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{b}a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bec902f865f26383f8c77e34f34e7339c194645d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.954ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{b}a}" loading="lazy"></dd></dl>

Beispielsweise ist der Logarithmus von 8 zur Basis 2 gleich 3, geschrieben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}8=3}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}8=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14c1ab64d9d4cb32420b536eef6b97470df488d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.836ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}8=3}" loading="lazy">, denn es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3}=8}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3}=8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb2dded8eba905e4a019b70abad935422b198db4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.478ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{3}=8}" loading="lazy">.

Falls die obige Gleichung nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> aufzulösen ist anstatt nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, so ist die Lösung gegeben durch die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-te <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzel</a> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">.

Am bekanntesten und am weitesten verbreitet ist der Logarithmus über den positiven <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>, der im Folgenden vornehmlich dargestellt wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<a href="Indische_Mathematik" class="mw-redirect" title="Indische Mathematik">Indische Mathematiker</a> im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der <a href="Antike" title="Antike">Antike</a> nutzten sie Logarithmen zur Basis 2 für ihre Berechnungen. Im 8. Jahrhundert beschrieb der indische Mathematiker Virasena Logarithmen zur Basis 3 und 4. Ab dem 13. Jahrhundert wurden von arabischen Mathematikern ganze logarithmische Tabellenwerke erstellt.

<a href="Nicolas_Chuquet" title="Nicolas Chuquet">Nicolas Chuquet</a> arbeitete klar die Rechengesetze für Potenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2276f9eaf1def104dca1973d9209062b356db428.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.3ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e99707189b3cd1dce292facdf42d46870454c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}}" loading="lazy"> heraus durch eine gegenüberstellende Anordnung einer arithmetischen und einer geometrischen Reihe.

Der deutsche Mathematiker <a href="Michael_Stifel" title="Michael Stifel">Michael Stifel</a> formulierte ähnlich im Jahr 1544 die Beziehungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{m}\cdot q^{n}=q^{m+n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{m}\cdot q^{n}=q^{m+n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0d3e1142dd4ae27c7d05ff5e957f40d9d0597a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.849ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q^{m}\cdot q^{n}=q^{m+n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baae033926002b920b18724f96a21483cdabfd77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:11.053ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}" loading="lazy"> neben anderen Autoren des 16. Jahrhunderts. Die Reduktion von Multiplikation auf Addition steht neben trigonometrischen Additionsformeln am Beginn der Entwicklung der Logarithmen.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu. <a href="John_Napier" title="John Napier">John Napiers</a> (1550–1617) Idee war dagegen, einen <a href="Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetigen</a> Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher <a href="Jost_B%C3%BCrgi" title="Jost Bürgi">Jost Bürgi</a> (1552–1632) ein neues System zur Berechnung von Logarithmen, das er 1620 nach langer Arbeit veröffentlichte. Aber schon vorher, im Jahre 1614, veröffentlichte der schottische Denker <a href="John_Napier" title="John Napier">John Napier</a> ein Buch über Logarithmen,<a href="#cite_note-3">[3]</a> das ihn als „Erfinder der Logarithmen“ berühmt machte. Ihre Arbeiten und Erkenntnisse über Logarithmen entwickelten Bürgi und Napier jedoch unabhängig voneinander.

Das griechische Wort „Logarithmus“ bedeutet auf Deutsch „Verhältniszahl“ und stammt von Napier. Es gilt nämlich: Genau dann steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> im selben Verhältnis wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> (als <a href="Mathematische_Formel" class="mw-redirect" title="Mathematische Formel">Formel</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a:b=c:d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a:b=c:d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f038fae9a6ae3e07027c4fdd958267a060b8cbb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.423ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a:b=c:d}" loading="lazy">), wenn die Unterschiede ihrer Logarithmen übereinstimmen (als Formel: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccac7fe6ab625d7d6bd291ddc267b121abed4f5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.354ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)}" loading="lazy">). Erstmals veröffentlicht wurden Logarithmen von diesem unter dem Titel Mirifici logarithmorum canonis descriptio, was mit Beschreibung des wunderbaren Kanons der Logarithmen übersetzt werden kann.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Nachdem der Oxforder Professor <a href="Henry_Briggs" title="Henry Briggs">Henry Briggs</a> (1561–1630) sich intensiv mit dieser Schrift beschäftigt hatte, nahm er mit ihrem Autor Kontakt auf und schlug vor, für die Logarithmen die Basis 10 zu verwenden (abgekürzt lg). Diese verbreiteten sich schnell und wurden besonders in der Astronomie geschätzt, was auch <a href="Pierre-Simon_Laplace" title="Pierre-Simon Laplace">Pierre-Simon Laplace</a>, im Vergleich zu den vorher benutzten trigonometrischen Tafeln, feststellte:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

„L’invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire la vie des astronomes.“

</blockquote>

</div></div>

„Dadurch, dass die für Rechnungen benötigte Zeit von einigen Monaten auf einige Tage reduziert wurde, hat die Erfindung der Logarithmen sozusagen die Lebenszeit eines Astronomen verdoppelt.“

</blockquote>

</div></div>

Wird die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> – die im Jahre 1728 von <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> (1707–1783) bestimmt und erstmals 1742 veröffentlicht wurde – als Basis des Logarithmus verwendet, so nennt man ihn den natürlichen Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wird dabei durch „ln“ abgekürzt.

Mit den Logarithmen war die mathematische Grundlage für die Weiterentwicklung des mechanischen <a href="Rechenschieber" title="Rechenschieber">Rechenschiebers</a> gelegt; denn die Funktionsweise des Rechenschiebers basiert auf dem Prinzip der Addition und Subtraktion von Logarithmen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Logarithmus_in_Anwendung_und_Natur">Logarithmus in Anwendung und Natur</h2></div>

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der <a href="Wissenschaft" title="Wissenschaft">Wissenschaft</a>, wenn der Wertebereich viele <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung" title="Größenordnung">Größenordnungen</a> umfasst. Daten werden entweder mit einer <a href="Logarithmische_Darstellung" title="Logarithmische Darstellung">logarithmischen Skala</a> dargestellt, oder es werden <a href="Logarithmische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Logarithmische Größe">logarithmisch definierte Größen</a> verwendet, wie zum Beispiel beim <a href="PH-Wert" title="PH-Wert">pH-Wert</a> oder bei der Empfindlichkeit der <a href="Sinnesorgan" title="Sinnesorgan">Sinnesorgane</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="In_der_belebten_Natur">In der belebten Natur</h3></div>

In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele <a href="Logarithmische_Spirale" title="Logarithmische Spirale">logarithmischer Spiralen</a>, so z. B. das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der <a href="Sonnenblume" title="Sonnenblume">Sonnenblume</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schalldruckpegel">Schalldruckpegel</h3></div>

Der <a href="Schalldruckpegel" title="Schalldruckpegel">Schalldruckpegel</a> wird als logarithmisches Maß zur Beschreibung der Stärke eines Schallereignisses verwendet. Dazu wird die <a href="Hilfsma%C3%9Feinheit" title="Hilfsmaßeinheit">Hilfsmaßeinheit</a> <a href="Bel_(Einheit)" title="Bel (Einheit)">Dezibel</a> (dB) verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Helligkeitsempfindung">Helligkeitsempfindung</h3></div>

Auch für die Sinnesempfindung der <a href="Helligkeit" title="Helligkeit">Helligkeit</a> hat sich eine logarithmische Bewertung bewährt (<a href="Weber-Fechner-Gesetz" title="Weber-Fechner-Gesetz">Weber-Fechner-Gesetz</a>), da das menschliche Auge zwischen Dämmerung und hellem Sonnenschein bis zu 10,5 Zehnerpotenzen an physikalischer Leuchtdichte überbrücken kann.

Der <a href="PH-Wert" title="PH-Wert">pH-Wert</a> ist das Maß für den sauren oder basischen Charakter einer wässrigen Lösung. Anmerkung: In der Chemie werden logarithmische Skalen im Allgemeinen durch ein vorangestelltes p (für Potenz) gekennzeichnet, zum Beispiel beim <a href="S%C3%A4urekonstante" title="Säurekonstante">pKS</a>- oder <a href="Basenkonstante" title="Basenkonstante">pKB</a>-Wert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Richterskala">Richterskala</h3></div>

Die <a href="Richterskala" title="Richterskala">Richterskala</a>, die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer deka-logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sternhelligkeiten">Sternhelligkeiten</h3></div>

Sternhelligkeiten werden in astronomischen <a href="Scheinbare_Helligkeit" title="Scheinbare Helligkeit">Größenklassen</a> angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rechenschieber">Rechenschieber</h3></div>

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man die <a href="#Logarithmengesetze">Logarithmengesetze</a> aus, um <a href="Multiplikation" title="Multiplikation">Multiplikationen</a> zu <a href="Addition" title="Addition">Additionen</a> und <a href="Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">Divisionen</a> zu <a href="Subtraktion" title="Subtraktion">Subtraktionen</a> zu vereinfachen. Die Berechnung der <a href="Quadratwurzel" title="Quadratwurzel">Quadratwurzel</a> vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch Zwei. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren <a href="Rechenschieber" title="Rechenschieber">Rechenschieber</a> mit ihren logarithmischen Skaleneinteilungen und Logarithmische Rechentafeln (<a href="Logarithmentafel" title="Logarithmentafel">Logarithmentafeln</a>) weit verbreitete Hilfsmittel.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wachstums-_und_Zerfallsprozesse">Wachstums- und Zerfallsprozesse</h3></div>

Typische Aufgabenstellungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen lassen sich durch die Umkehrfunktion des Logarithmus – die Exponentialfunktion – modellieren. Siehe <a href="Exponentieller_Vorgang" class="mw-redirect" title="Exponentieller Vorgang">Exponentieller Vorgang</a>, <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">Absorption</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anzahl_der_Ziffern_einer_Zahl">Anzahl der Ziffern einer Zahl</h3></div>

Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer natürlichen Zahl in einem <a href="Stellenwertsystem" title="Stellenwertsystem">Stellenwertsystem</a> benötigt werden. Um eine natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> darzustellen, werden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+\lfloor \log _{b}n\rfloor }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+\lfloor \log _{b}n\rfloor }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4b5d648e117c52d3b21c26a2e2b2391174a66b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1+\lfloor \log _{b}n\rfloor }" loading="lazy"> Stellen benötigt. Die <a href="Gau%C3%9Fklammer" class="mw-redirect" title="Gaußklammer">Klammern</a> bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Zum Beispiel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}100\approx 6{,}64}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}100\approx 6{,}64}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37583f1db2e96d9b36ec46afeb885fbe9226ad98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.133ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}100\approx 6{,}64}" loading="lazy">. Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Ziffern, um 100 im <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Dualsystem</a> darzustellen, nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100=1100100_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100=1100100_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41921b046dcda1c5b1986e4f366f2762ea14b9a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.777ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 100=1100100_{2}}" loading="lazy">. Stellt man hingegen 100 im <a href="Hexadezimalsystem" title="Hexadezimalsystem">Hexadezimalsystem</a> dar, dann benötigt man dazu zwei Stellen, denn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{16}100\approx 1{,}66}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{16}100\approx 1{,}66}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ef9d5033665647895f0e0389519a06219109dab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.955ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{16}100\approx 1{,}66}" loading="lazy">. Es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 100=64_{16}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 100=64_{16}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fdcf64458355b958bc1d41cd4ce48e75eddac1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 100=64_{16}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Benfordsches_Gesetz">Benfordsches Gesetz</h3></div>

Die Verteilung der Ziffern von Zahlen in empirischen Datensätzen, zum Beispiel ihrer ersten Ziffern, folgt einer logarithmischen Verteilung, dem <a href="Benfordsches_Gesetz" title="Benfordsches Gesetz">Benfordschen Gesetz</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Informationseinheit">Informationseinheit</h3></div>

Messung der <a href="Informationsmenge" class="mw-redirect" title="Informationsmenge">Informationsmenge</a>; die <a href="Entropie_(Informationstheorie)" title="Entropie (Informationstheorie)">Informationstheorie</a> sagt, dass, wenn etwas mit <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}{\tfrac {1}{p}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}{\tfrac {1}{p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7c74a00b7bebce560856f614915169b3b101999.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.076ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}{\tfrac {1}{p}}}" loading="lazy"> bit ergibt. Zum Beispiel erhält man beim Ergebnis „Kopf“ eines fairen <a href="M%C3%BCnzwurf" title="Münzwurf">Münzwurfs</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=0{,}5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ff76cf314f4b394984cb4b6d1714598d4376472.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.329ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=0{,}5}" loading="lazy">) die Informationsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{2}2=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{2}2=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a63d03d23e9d47761a4f1cfa1d0097919c395f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.836ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{2}2=1}" loading="lazy"> bit, und es genügt ein <a href="Bit" title="Bit">Bit</a>, um diese Information zu <a href="Code" title="Code">codieren</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kryptographie">Kryptographie</h3></div>

Der <a href="Diskreter_Logarithmus" title="Diskreter Logarithmus">diskrete Logarithmus</a> ist in <a href="Endlicher_K%C3%B6rper" title="Endlicher Körper">endlichen Körpern</a> und darauf definierten <a href="Elliptische_Kurve" title="Elliptische Kurve">elliptischen Kurven</a> erheblich aufwändiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die <a href="Diskrete_Exponentialfunktion" title="Diskrete Exponentialfunktion">diskrete Exponentialfunktion</a>. Letztere kann daher als sogenannte <a href="Einwegfunktion" title="Einwegfunktion">Einwegfunktion</a> in der <a href="Kryptografie" class="mw-redirect" title="Kryptografie">Kryptografie</a> zur <a href="Verschl%C3%BCsselung" title="Verschlüsselung">Verschlüsselung</a> angewandt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Logarithmische_Zeitskalen">Logarithmische <a href="Zeitskala" title="Zeitskala">Zeitskalen</a></h3></div>

Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der <a href="Technik" title="Technik">Technik</a> ebenso wie in der <a href="Geologische_Zeitskala" title="Geologische Zeitskala">geologischen Zeitskala</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Intervalle_der_Musiktheorie">Intervalle der Musiktheorie</h3></div>

Intervalle haben einen exponentiellen Frequenzverlauf. Das Gehör jedoch empfindet diese als linear. Die Größen von Intervallen werden daher als multiplikative Faktoren auf Frequenzen aufgefasst und als rationale Zahlen oder als Logarithmen angegeben. In diesem Fall wird die Oktave in 1200 <a href="Cent_(Musik)" title="Cent (Musik)">Cent</a> unterteilt. Beispiel:

<th>Intervall</th>

<th>Frequenzverhältnis</th>

<th>Größe

</th></tr>

<tr>

<td align="center">1 Oktave</td>

<td align="center">1200 Cent

</td></tr>

<tr>

<td align="center">2 Oktaven</td>

<td align="center">2400 Cent

</td></tr>

<tr>

<td align="center">3 Oktaven</td>

<td align="center">3600 Cent

</td></tr>

<tr>

<td align="center" colspan="3">…

</td></tr>

<tr>

<td align="center">reine große Terz</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c35838f8fbe8cb8debece35f29c4c5d23098dd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:35.839ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {5}{4}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 386{,}314\,{\text{Cent}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td align="center">reine Quinte</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202d0c545d9cdd721e7301138663ea9ef20b623f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:35.839ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 1200\cdot \log _{2}{\big (}{\tfrac {3}{2}}{\big )}\,{\text{Cent}}\approx 701{,}955\,{\text{Cent}}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Graphische_Darstellung_von_Funktionen">Graphische Darstellung von Funktionen</h3></div>

Zur graphischen Darstellung von Funktionen werden spezielle <a href="Mathematisches_Papier" title="Mathematisches Papier">mathematische Papiere</a> verwendet, wie beispielsweise <a href="Einfachlogarithmisches_Papier" class="mw-redirect" title="Einfachlogarithmisches Papier">einfachlogarithmisches Papier</a> oder <a href="Doppeltlogarithmisches_Papier" class="mw-redirect" title="Doppeltlogarithmisches Papier">doppeltlogarithmisches Papier</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnungen">Bezeichnungen</h2></div>

Man schreibt für den Logarithmus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{b}a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bec902f865f26383f8c77e34f34e7339c194645d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.954ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{b}a}" loading="lazy"></dd></dl>

und sagt: „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ist der Logarithmus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">“. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> heißt Numerus oder veraltet auch Logarithmand.<a href="#cite_note-Wissenschaftliche_Zeitschrift_der_Humboldt-Universität_zu_Berlin-6">[6]</a>

Das Ergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> potenzieren muss, um den Numerus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> zu erhalten.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

Für die Vorkommastellen des Logarithmus wird meist der Begriff Charakteristik (manchmal auch Kennzahl) verwendet, seine Nachkommastellen werden <a href="Mantisse" title="Mantisse">Mantisse</a> genannt.

Die Schreibweise

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {log} _{b}a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73c8ba97d6b96eb6e7f8598f6e4a0e0ccb76ce9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {log} _{b}a}" loading="lazy"></dd></dl>

ist das allgemeine mathematische Zeichen für den Logarithmus gemäß <a href="DIN_1302" title="DIN 1302">DIN 1302</a>. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, wie zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}_{b}\,\!\log a}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}_{b}\,\!\log a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2180765db00ca18012d49461083bbd4e1a872d25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.913ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {}_{b}\,\!\log a}" loading="lazy">.

Das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log }" loading="lazy"> ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt, wenn diese getrennt vereinbart wird, aus dem Zusammenhang ersichtlich ist oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log }" loading="lazy"> oft für den dekadischen Logarithmus. In theoretischen Abhandlungen, insbesondere zu <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">zahlentheoretischen Themen</a>, steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log }" loading="lazy"> oft für den natürlichen Logarithmus.

Darüber hinaus sind für den Logarithmus in DIN 1302 je nach Anwendung spezielle Schreibweisen festgelegt:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ln} a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ad1c436d971478bc44a03c1d4df397d05e2a00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.556ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ln} a}" loading="lazy"> – <a href="#Natürlicher_Logarithmus">Natürlicher Logarithmus</a> (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> logarithmus naturalis), der Logarithmus zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy">, der <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</a> 2,7182818… Er wird im Zusammenhang mit <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktionen</a> verwendet.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lg} a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b36064a8fd2f80ba2830dbecf059086ee9f6220.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.426ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lg} a}" loading="lazy"> – <a href="Dekadischer_Logarithmus" title="Dekadischer Logarithmus">Dekadischer Logarithmus</a>, auch als Zehnerlogarithmus oder Briggsscher Logarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 10. Er wird bei numerischen Rechnungen im Dezimalsystem verwendet.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lb} a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15253c6eb70f7dc338d569603f73543198600295.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.556ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lb} a}" loading="lazy"> – Binärer Logarithmus, auch als Zweierlogarithmus bezeichnet, der Logarithmus zur Basis 2. Er wird in der Informatik bei Rechnungen im <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Binärsystem</a> verwendet. Außerhalb der Norm wird mit gleicher Bedeutung auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ld} a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ld} a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dcf1ff7fe273770ddf4cd286c4b07572ae0efe6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.556ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ld} a}" loading="lazy"> – logarithmus dualis – verwendet.</li></ul>

Ein ähnlich aussehendes Funktionszeichen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {li} a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {li} a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fbd6b8641044e3c55ce1295441811d44ed0af1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.911ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {li} a}" loading="lazy"> für den <a href="Integrallogarithmus" title="Integrallogarithmus">Integrallogarithmus</a>. Bei dieser Funktion handelt es sich aber nicht um eine Logarithmusfunktion.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Der Logarithmus kann mathematisch stets als eine Schar von Funktionen (deren Parameter mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> bezeichnet sei)

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a0b85dfcbb3b2e3be9c5fabb9107962cdba20bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.328ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"></dd></dl>

aufgefasst werden. Ihre einzelnen Logarithmusfunktionen sind dabei nur unterschiedliche (reelle, aber ungleich null) Vielfache voneinander.

Über den positiven reellen Zahlen kann er auf verschiedene Arten eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen didaktischen Zugang wählen. Die verschiedenen Definitionen des reellen Logarithmus sind dabei untereinander <a href="%C3%84quivalenzumformung" title="Äquivalenzumformung">äquivalent</a> und erfolgen hier mit besonderem Fokus auf den natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Weise auftritt, wie bei dem Zugang über die <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4d2851f22ca31e9ddea8662f3c79833cb29093e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}" loading="lazy"> erkennbar ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Umkehrfunktion_der_Exponentialfunktion">Als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion</h3></div>

Der Logarithmus zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ist die Umkehrfunktion der allgemeinen <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> zur positiven Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\neq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32a55c3a4b8eca743088b70c7c4d63c773f43c2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.258ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\neq 1}" loading="lazy">:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto b^{x}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20dff57d5ff150fcd5b1061cc34610a8e4572603.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.761ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto b^{x}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bb7406a338fb530330582bc63420d091897c709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.17ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b^{x}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{b}x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/777b35d8d91f445f98286c9619003039e28dfe94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.626ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}x}" loading="lazy"> sind also <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktionen</a> voneinander, d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{\log _{b}x}=x\quad {\text{und}}\quad \log _{b}(b^{x})=x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/246024e6a04806a4467cda750551622e01a71a9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.697ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle b^{\log _{b}x}=x\quad {\text{und}}\quad \log _{b}(b^{x})=x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=\mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=\mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/736afc8675dfe3d127e4dcb65c3b428af71294af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.128ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=\mathrm {e} }" loading="lazy">, wobei

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} =2{,}718281828459\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1e040fad085856ecf04a0b3de33810845743096.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} =2{,}718281828459\ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

die <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulersche Zahl</a> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Lösung_einer_Funktionalgleichung">Als Lösung einer Funktionalgleichung</h3></div>

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> der <a href="Funktionalgleichung" title="Funktionalgleichung">Funktionalgleichung</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(x\cdot y)=L(x)+L(y).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/884a4b0c03c2fdbc87e5edb286bf755c33968d5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.412ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(x\cdot y)=L(x)+L(y).}" loading="lazy"></dd></dl>

Ihre Lösungen erfüllen stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(1)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(1)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4611a0a5988f4be353c2078eaf392703dbff476.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.816ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(1)=0}" loading="lazy"> und erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L'(1)=1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535d4ec0dd8f31385cceed4dc8c44a5642e162f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.147ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L'(1)=1.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L'(1)={\frac {1}{\ln b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b70cc30ee762b7466d0a553395ee9fa6588eba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.498ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle L'(1)={\frac {1}{\ln b}}}" loading="lazy"></dd></dl>

fordern und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die <a href="Nullfunktion" title="Nullfunktion">Nullfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2cb852db55d4feafa8cf3652fce1566d9727017.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.983ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(x)=0}" loading="lazy">, die nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird, und die einzige Lösung der Funktionalgleichung, für die auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/addef683ebe24b7bb67da5884ca8db95caf7bd7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(0)}" loading="lazy"> definiert ist.

Der Logarithmus vermittelt aufgrund obiger Funktionalgleichung daher insbesondere eine <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">strukturerhaltende Abbildung</a> von den positiven reellen Zahlen mit ihrer multiplikativen Struktur auf die gesamten reellen Zahlen mit deren additiver Struktur. Dies kann man auch explizit als Bedingung fordern und gelangt damit zur Herleitung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Isomorphismus">Als Isomorphismus</h3></div>

Die reellwertigen Logarithmen sind genau die stetigen <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismen</a>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\colon (\mathbb {R} ^{+}\!,\,\cdot \,)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feeded72edfcafecb30405465e86770b5dd30d98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.108ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L\colon (\mathbb {R} ^{+}\!,\,\cdot \,)\longrightarrow (\mathbb {R} ,+)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Definition legt die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig fest.

Der algebraische Zugang betont ebenso wie der Zugang über die Funktionalgleichung

die historische Bedeutung des Logarithmus als Rechenhilfe: Er ermöglicht es, eine Multiplikation in eine Addition „umzuwandeln“.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Stammfunktion_von_f_mit_f(x)=1/x">Als Stammfunktion von f mit f(x)=1/x</h3></div>

Die Funktion

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\colon t\mapsto \int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76487486768846e595ab36c9e481b94ed3911557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.923ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L\colon t\mapsto \int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29a2960e88369263fe3cfe00ccbfeb83daee212a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t>0}" loading="lazy"> ist gerade der natürliche Logarithmus: Es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c1547d2d2f1d7704b67fc94a66556f786fd7adb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.621ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L=\ln }" loading="lazy">. Zum Logarithmus mit der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> gelangt man durch Division der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> durch die Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(b)=\ln b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(b)=\ln b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf00f5c8f1ec75dd6d9e63bd0add6e27c9c65c4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(b)=\ln b}" loading="lazy">. Als uneigentliches Integral von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, oder beliebiger willkürlicher (positiver) unterer Integrationsgrenze, betrachtet, würde man nur noch eine zusätzliche, additive Konstante erhalten, aber immer nur den Logarithmus zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> bekommen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Potenzreihe">Als Potenzreihe</h3></div>

Der natürliche Logarithmus kann als <a href="Potenzreihe" title="Potenzreihe">Potenzreihe</a> gemäß

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dotsb }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c87b764d2b51bb54e971864996431f3ab4556e46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:54.931ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dotsb }" loading="lazy"></dd></dl>

eingeführt werden. Diese Reihe konvergiert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x|<1}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x|<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f9498d60b2319a4ae7c5607794b537c559a976d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x|<1}" loading="lazy"> und für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=1}" loading="lazy">.

Für eine numerische Berechnung des Werts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05a1ea0646909091114d8933e502d58f3b051075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.399ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x>-1}" loading="lazy"> ist die Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}}">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a73622609c88d61c161fe5169b068870d524eb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:29.648ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)=-\ln {\Bigl (}1-{\frac {x}{1+x}}{\Bigr )}}" loading="lazy"> nützlich.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anmerkung">Anmerkung</h3></div>

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. B. auf den komplexen Zahlen. Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den <a href="Diskreter_Logarithmus" title="Diskreter Logarithmus">diskreten Logarithmus</a> auf einer <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (Die Definition geschieht dort als Umkehrung der Potenzierung mit ganzen Exponenten, die wiederum aus mehrfachem Anwenden der einen Verknüpfung der Gruppe definiert ist.)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rechenregeln_und_grundlegende_Eigenschaften">Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Logarithmengesetze">Logarithmengesetze</h3></div>

Im Folgenden wird stets vorausgesetzt, dass die Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y,x_{i},r,a,b}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y,x_{i},r,a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9506b847c5c8164c4cfa945d06c8da893e1eaaea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.06ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x,y,x_{i},r,a,b}" loading="lazy"> von Null verschieden sind; im Falle des reellen Logarithmus werden die Zahlen sogar als positiv vorausgesetzt. Die Basen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}" loading="lazy"> des Logarithmus dürfen ferner nicht 1 sein.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Produkte">Produkte</h4></div>

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b88dd17d743a6075ae9995e4818556c193f27ed7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y}" loading="lazy"></dd></dl>

zur Verfügung; oder allgemeiner:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}(x_{1}x_{2}\dotsm x_{n})=\log _{b}x_{1}+\log _{b}x_{2}+\dotsb +\log _{b}x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dff45c861d2c6088cc46e45dd969839290b5bf80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.08ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}(x_{1}x_{2}\dotsm x_{n})=\log _{b}x_{1}+\log _{b}x_{2}+\dotsb +\log _{b}x_{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}\log _{b}x_{i}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9296bf2fc9c8b313fc1e8182a920cfbd13c5e6f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.696ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}\log _{b}x_{i}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Quotienten">Quotienten</h4></div>

Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f04b243d3b68fdf9ac0b957a1a6eae563fd731ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.479ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}" loading="lazy"></dd></dl>

angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> minus den Logarithmus des Nenners <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">.

Insbesondere ergibt sich daraus (da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log 1=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log 1=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cb25c36a737bdeb44ae03d88ba2254533cec559.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.782ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log 1=0}" loading="lazy">):

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b8710c99b3a02136a39a17401dfe82b6ad6352.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.382ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}" loading="lazy"></dd></dl>

Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">Reziprozitäts</a>gesetz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=-\log _{b}{\frac {y}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9127b97879f7c724cfcd4980788a719211f856.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.218ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}{\frac {x}{y}}=-\log _{b}{\frac {y}{x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Summen_und_Differenzen">Summen und Differenzen</h4></div>

Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffb4441dccedb5ede51a213408b17cf83eec9a27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.326ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+y}" loading="lazy"> hergeleitet werden, indem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ausgeklammert wird:

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y=x\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae9f12511129bcbdf45c96db382681d6558fd05e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.119ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle x+y=x\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit ergibt sich die „Regel“

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}(x+y)=\log _{b}x+\log _{b}\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb67ae6876a2bb72efbc6624167221da1b4448ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.11ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}(x+y)=\log _{b}x+\log _{b}\left(1+{\frac {y}{x}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Potenzen">Potenzen</h4></div>

Für Potenzen mit reellem Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> gilt die Regel

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}\left(x^{r}\right)=r\log _{b}x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0f0ebaad9a73af374b7bb6eb57dca96b7bc1807.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.829ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}\left(x^{r}\right)=r\log _{b}x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Auch daraus lässt sich für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa9dc9f52ab2212ef9945a9d17f5b6ded46c899.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.118ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r=-1}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b8710c99b3a02136a39a17401dfe82b6ad6352.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.382ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}{\frac {1}{x}}=-\log _{b}x}" loading="lazy"></dd></dl>

ermitteln.

Der Logarithmus eines <a href="Stammbruch" title="Stammbruch">Stammbruchs</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3da30de216ba1a9649809913816f8b640eb26f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.776ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}" loading="lazy"> ist der negative Logarithmus des Nenners <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.

Diese Rechenregeln lassen sich von den <a href="Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze" title="Potenz (Mathematik)">Potenzgesetzen</a> ableiten.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Wurzeln">Wurzeln</h4></div>

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel

<msub>

</mrow>

</msub>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{n}]{x}}=\log _{b}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{b}x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67539e2acb1a493452d8ddd9912c8b2631d8b0d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.534ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{n}]{x}}=\log _{b}\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{b}x.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Basisumrechnung">Basisumrechnung</h3></div>

Um Logarithmen zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\neq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32a55c3a4b8eca743088b70c7c4d63c773f43c2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.258ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b\neq 1}" loading="lazy"> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f695917fb11ae0ee8cd0bf647ba8557133a783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.491ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq 1}" loading="lazy"> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\;\;\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff4e71e55fc0a82d513a01b77e43f778566e1f6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.287ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \;\;\;\log _{b}x={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

denn mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\;y=\log _{b}x\;\;}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\;y=\log _{b}x\;\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40a2424f9ba414af41f94f2089b28d8279cc7acd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.461ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;\;y=\log _{b}x\;\;}" loading="lazy"> gelten die Umformungen

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}b^{y}&=x\\\log _{a}b^{y}&=\log _{a}x\\y\log _{a}b&=\log _{a}x\\y&={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ed4b8ada888fdbd5acaa2414c43a0ff087fcd3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:17.477ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}b^{y}&=x\\\log _{a}b^{y}&=\log _{a}x\\y\log _{a}b&=\log _{a}x\\y&={\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> (den natürlichen Logarithmus). Mit der obigen Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Ein prominenter Spezialfall, der sich für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;a\neq 1\land b\neq 1\;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;a\neq 1\land b\neq 1\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d27cdcf33af3cd8b41c0bf1b988e41d9160d6823.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.622ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;a\neq 1\land b\neq 1\;}" loading="lazy"> aus obiger Formel ergibt, ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9c496a4535ec9e5dd2e421725036f526b5cb6aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.242ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\quad }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c81e26c14d16832416ae62af3b1557d5f11aaba7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.247ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \quad \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

<dl><dt>Beispiel</dt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6471bd9ffaeab365bf2cd481dcca15a6775c528c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.656ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \log _{10}8={\frac {\log _{2}8}{\log _{2}10}}={\frac {\ln 8}{\ln 10}}}" loading="lazy"></dd>

<dd>für beliebige positive Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f3d3f5c6a258b0b593a2641f29e7cbf45eec1da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.033ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\ln x}{\log _{10}x}}=\ln 10\approx 2{,}302585}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dt>Beispiel für den Kehrwert der Basis</dt>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{a^{-1}}x=-\log _{a}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/102aa7c04d4d82a0e4add8bc3a2479b1b4aac4b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.744ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \log _{a^{-1}}x=-\log _{a}x}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nichtpositive_Zahlen">Nichtpositive Zahlen</h3></div>

In den <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> ist der Logarithmus für nichtpositive Zahlen, also <a href="Null" title="Null">Null</a> und <a href="Negative_Zahlen" class="mw-redirect" title="Negative Zahlen">negative Zahlen</a>, nicht definiert. Allerdings erfüllt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{b}|x|}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{b}|x|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7269750cf81323b3701872627587a0d4af1f0577.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \log _{b}|x|}" loading="lazy"> obige Funktionalgleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54540ae517d68ea2f9a84a10b80380d90adea96e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(\cdot )}" loading="lazy">, solange nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y\not =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y\not =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cd43eba9c9313fa823c2b075ef7863d63fb1330.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.78ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x,y\not =0}" loading="lazy"> ist, da diese dort eine Unstetigkeitsstelle hat. Ansonsten würde für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy"> ja für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=L(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=L(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c58a35e094f362d0b3184c73857f153c75ff2bd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.809ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0=L(y)}" loading="lazy"> folgen, wenn man ihre Gültigkeit auf ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">, also auch bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">, verlangen würde.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{b}0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bad0dce6009f53cc09f94ca53943e2277154c2ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.887ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{b}0}" loading="lazy"> müsste dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=b^{x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=b^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc943b714e5457dc1508cdcc79ac903491d23ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.431ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0=b^{x}}" loading="lazy"> bedeuten. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> ungleich Null, ist dies jedoch für kein reelles <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> lösbar.</li>

<li>(als Beispiel die negative Zahl −1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\log _{b}(-1)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{b}(-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e4de35b88b74a01c08ba5887bf41232db843e29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.117ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{b}(-1)}" loading="lazy"> müsste dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1=b^{x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1=b^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dcb1c9d4a2d4a5d2bd1092e6c3404560f7ea319.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.239ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -1=b^{x}}" loading="lazy"> bedeuten. Dies ist ebenfalls für keine reelle Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> möglich, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> größer Null ist.</li></ul>

In der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a>, in der Funktionen von <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexen Zahlen</a> betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe <a href="#Komplexer_Logarithmus">Komplexer Logarithmus</a>), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr. Auch in diesem Zusammenhang ist 0 keine <a href="Isolierte_Singularit%C3%A4t" title="Isolierte Singularität">isolierte Singularität</a>, sondern ein <a href="Verzweigungspunkt" class="mw-redirect" title="Verzweigungspunkt">Verzweigungspunkt</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ableitung_und_Integral">Ableitung und Integral</h3></div>

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> der <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a>. Daher erhält man die <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der <a href="Umkehrregel" title="Umkehrregel">Umkehrregel</a> (siehe <a href="Umkehrregel#Beispiele" title="Umkehrregel">Beispiel dort</a>). Es ergibt sich

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7e0f2d4a2ba2eaa4aaea0752486212d65af14c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.188ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für positives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">. Für negatives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> folgt daraus (wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -x>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6091718d574abc88a7c8570b3ccb0e779e7b2a47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.399ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -x>0}" loading="lazy"> und unter Anwendung der <a href="Kettenregel" title="Kettenregel">Kettenregel</a>)

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49850b5c35f4ee7fa9d7e02d4eb67a38a185960e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:29.528ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(-x)={\frac {1}{-x}}\cdot (-1)={\frac {1}{x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}}">

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07ca9473671ed7d20f04ff24870150cc0611d61c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.665ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{für }}x>0\\-x,&{\text{für }}x<0\end{cases}}}" loading="lazy"> lässt sich beides zu

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \ x\neq 0\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\frac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33826a858aa416d36a6901a4d5c5f7a4ba2139d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.557ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \forall \ x\neq 0\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\frac {1}{x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

zusammenfassen. Für allgemeine Logarithmen gilt:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3474396ad1794817e0398715542534dd5dfc61eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.388ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für alle reellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy"> ist

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-1}^{x}{{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}=\ln |x|,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9056e7392ddd2cbbdda88828f494b72e19c72a1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.237ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{-1}^{x}{{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t}=\ln |x|,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei für positives <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> (wenn also über den Pol bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> integriert wird) der <a href="Cauchyscher_Hauptwert#Beispiel_(CH_1/x)" title="Cauchyscher Hauptwert">Hauptwert</a> des Integrals zu nehmen ist.

Die <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktion</a> (auch bekannt als <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">unbestimmtes Integral</a>) des natürlichen Logarithmus lässt sich durch <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a> gewinnen:

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/600ff94a6ef85a840b28da0dee88184075755b13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.671ex; width:32.982ex; height:20.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\ln |x|\,\mathrm {d} x}&=\int 1\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x\cdot \ln |x|\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|-\int x{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=x\ln |x|\;-x+C.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die <a href="Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital" title="Regel von de L’Hospital">Regel von de L’Hospital</a> angewendet werden.

<dl><dt>Beispiel</dt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\ln x\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e8a29f53f3d2a8eae6731953681efd34f9bcc52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.276ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\ln x\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1,}" loading="lazy"></dd></dl>

da

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}-x\\&=0.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c9ff10638cc2e675d6530ab2abef98db7ee9ac9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:26.565ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{1/x}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1/x}{-1/x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0^{+}}-x\\&=0.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurvendiskussion">Kurvendiskussion</h3></div>

<ul><li><a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/468db4e96cb23e3d62fc8094c04ab400e4a445a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.101ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}={\mathopen {]}}0,\infty {\mathclose {[}}}" loading="lazy"></li>

<li><a href="Bild_(Mathematik)" title="Bild (Mathematik)">Wertemenge</a>: <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></a></li>

<li><a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstellenmenge</a> bzw. Kurvenschnittpunkte mit den <a href="Koordinatenachse" title="Koordinatenachse">Koordinatenachsen</a>: {1} bzw. (1|0)</li>

<li>Asymptotisches <a href="Grenzwert_(Funktion)" title="Grenzwert (Funktion)">Verhalten</a>:</li></ul>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d1f6695cb0ca44f0d0dfa053571ab58ae66b534.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.45ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c90c00ea26da0c096fe1c55ade49d61c27bb179a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.069ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\text{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\text{wenn }}b<1\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Erste <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a>:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\log _{b}|x|)'={\frac {1}{x\ln b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e30ea63803674db4b75b77620d8f76389449aab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.389ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle (\log _{b}|x|)'={\frac {1}{x\ln b}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li><a href="Extrempunkt" class="mw-redirect" title="Extrempunkt">Extrempunkte</a>: keine</li>

<li><a href="Wendepunkt" title="Wendepunkt">Wendepunkte</a>: keine</li>

<li><a href="Reelle_monotone_Funktion" class="mw-redirect" title="Reelle monotone Funktion">Monotonie</a>: streng monoton steigend/wachsend (wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>1}" loading="lazy">) bzw. fallend (wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/474aaaee8d5178a7839515611341b818b060597a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b<1}" loading="lazy">)</li>

<li><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> der Fläche zwischen Kurve, y-Achse und x-Achse bis x ≤ 1: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{|\ln b|}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{|\ln b|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e8319d162de534224573523e190a1792a6c6f51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:5.841ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{|\ln b|}}}" loading="lazy"></li>

<li><a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmungs</a>extremum bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a2587a4455522db99f20fc156c104c29665ace0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.456ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle x_{k}={\frac {1}{{\sqrt {2}}|\ln b|}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16db3fb8e8c7af68eec446a08797c9b505f49696.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:16.183ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa (x_{k})=-{\frac {2\ln b}{3{\sqrt {3}}}}}" loading="lazy"></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Natürlicher_Logarithmus">Natürlicher Logarithmus</h2></div>

Der Logarithmus zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> (der <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</a>) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder oft auch „log“ (ohne <a href="Tiefstellung" title="Tiefstellung">Tiefstellung</a>) abgekürzt:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\mathrm {e} ^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a2adb22cce95edd14885b5cd2ef07af0c802f1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.459ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=\mathrm {e} ^{x}}" loading="lazy">, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b40f84d8145ca020a6f9476ea33b6c1cc06df039.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.485ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=\log _{\mathrm {e} }y=\ln y}" loading="lazy"></dd>

<dd>– oder einfacher formuliert: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(\mathrm {e} ^{x})=x}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(\mathrm {e} ^{x})=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d90f327f99a87e18ea087018a129b986bf66bfaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.382ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(\mathrm {e} ^{x})=x}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/671522476834c1addcede5863cd14e9c86e75cd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.205ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}" loading="lazy"> sich bei Ableitung nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wieder selbst reproduziert, als Formel:

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc66dafd4a880d3a029066aa094fdf0b64e649b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.613ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {e} ^{x}=\mathrm {e} ^{x}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1f6ea7bf1c1e53e8200cb7e2917ccb23df457b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.032ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} }" loading="lazy"> in vielen Zusammenhängen (<a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integralrechnung</a>, <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Differentialrechnung</a>, <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">Komplexe Zahlen</a>, <a href="Trigonometrie" title="Trigonometrie">Trigonometrie</a>) auf natürliche Weise ohne Vorfaktoren auftreten. Insbesondere lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> ist eine Stammfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> der Kehrwertfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b304188bc600aa3a90cbba46842fbf9025cc38a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.053ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}}" loading="lazy">, nämlich genau die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(1)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(1)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5ca6bce9f204877a6a7b349dcf34707a4d7b4eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.973ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(1)=0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_des_Logarithmus">Berechnung des Logarithmus</h2></div>

Die Berechnung eines Logarithmus ist prinzipiell kompliziert. Sie lässt sich „mit Papier und Bleistift“ nur durch die vielfache Wiederholung bestimmter Rechenvorgänge erreichen, wobei das Ergebnis des gerade ausgeführten Schrittes als Ausgangsbasis für den nächsten Rechenschritt verwendet wird (<a href="Iteration" title="Iteration">Iterative Vorgehensweise</a>).

Meist kann man sich dem Wert nur annähern (<a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a>).

Dazu gibt es verschiedene mögliche Vorgehensweisen, von denen einige im Folgenden dargestellt sind. Anfangs ist das Ergebnis dieser Teilschritte jeweils relativ weit entfernt von dem korrekten Ergebnis, wird aber bei jedem weiteren Rechenschritt genauer: es <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">konvergiert</a> zu dem korrekten Ergebnis. Solche iterativen Rechenoperationen sind sehr gut geeignet, um sie automatisch von einem <a href="Taschenrechner" title="Taschenrechner">Taschenrechner</a> oder <a href="Computer" title="Computer">Computer</a> ausführen zu lassen, wo lediglich eine Taste gedrückt werden muss (falls auf dem Gerät vorgesehen), um den Logarithmus der eingegebenen Zahl zu einer festgelegten Basis (meist der <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">Eulerschen Zahl</a> e = 2,718… oder der Zahl 10) zu berechnen. Die folgenden Rechenbeispiele sind jeweils nur zur Berechnung des Logarithmus einer beliebigen Zahl zur Basis e (natürlicher Logarithmus) oder 2 geeignet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Potenzreihe">Potenzreihe</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Reihe_über_den_Logarithmus_Naturalis">Reihe über den Logarithmus Naturalis</h4></div>

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 ergibt sich für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1<x\leq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1<x\leq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b3146f6393631821d264b39f7bf2a9fc1e60cb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.66ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1<x\leq 1}" loading="lazy"> als

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99886e2a9d092c5dd55443f1b42f91b14fc19f85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.671ex; width:45.298ex; height:18.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k+1}}{k+1}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \dotsb \\&\qquad \dotsb +(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;+\;R_{n+1}(x)\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Sie konvergiert nicht sonderlich schnell an den Rändern des Konvergenzintervalls, das Restglied der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Partialsumme hat die Größe

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32861083b33e8f0dea92a808c5a7298d34a31492.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.739ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)(1-|x|)}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit Hilfe der Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a1ae091083fe93aba1dac823b4a3e53efb6f854.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.55ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x)}" loading="lazy"> kann man die Berechnung des Logarithmus für beliebige <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> auf die für Werte im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}}">

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89bf046deb1bfafc66057e0bfd62d60fc6d6e94d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.29ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\big [}{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {4}{3}}{\big ]}}" loading="lazy"> reduzieren, d. h., man findet immer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{-m}x=1+y}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{-m}x=1+y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9490b5f25e75b18ec00e620d1074849252a7a903.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{-m}x=1+y}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |y|\leq {\tfrac {1}{3}}}">

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |y|\leq {\tfrac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea438f816637946891f0f7b89cf309967e1853ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.206ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle |y|\leq {\tfrac {1}{3}}}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Reihe_über_den_Areatangens_Hyperbolicus">Reihe über den Areatangens Hyperbolicus</h4></div>

Mehr Flexibilität in der Reduktion auf Zahlen nahe 1 und eine Halbierung des Berechnungsaufwandes bietet folgende <a href="Reihe_(Mathematik)" title="Reihe (Mathematik)">Reihendarstellung</a>, die auf der Potenzreihenentwicklung des <a href="Areatangens_hyperbolicus" class="mw-redirect" title="Areatangens hyperbolicus">Areatangens hyperbolicus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {artanh} }">

<mi>artanh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17ac4feb3bc13f90ef6b4a5623a63e9f8e95a1c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} }" loading="lazy"> beruht,

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3a37a48428f26e263306015cf87a13bfc50ffc7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:44.803ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\!\!+\,\,R_{n+1}(x)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der Restgliedabschätzung

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15ea737a89ec1f959541407916845de7d6b44d0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:38.243ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle |R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2(2n+3)\,|x|}}\left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|^{2n+1}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Reihe konvergiert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x>0}" loading="lazy">, zeigt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3da30de216ba1a9649809913816f8b640eb26f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.776ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}" loading="lazy"> ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert umso besser,

je näher <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man wieder

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x=2m\ln({\sqrt {2}})+\ln(2^{-m}x).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/234ad935d56e0f062a575f9b52281839b3abdfa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.873ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ln x=2m\ln({\sqrt {2}})+\ln(2^{-m}x).}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> kann man immer erreichen, dass gilt

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/784f93269747e9e1f93b301a33f3adb1a7ef77e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.768ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}}" loading="lazy">

und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{-m}x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{-m}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c9f1675eaae97e952e539e00ff67d4560c3ff52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.446ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2^{-m}x}" loading="lazy"> berechnet. Allerdings muss man zusätzlich noch eine Näherung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11a3f8713b8103f5ec610116591032e1d5d76c7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.057ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \ln {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}\ln 2}" loading="lazy"> berechnen, was über die gleiche Reihe erfolgt. Eine solche Transformation auf ein Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}}">

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67acf657173334d1206beff1bee74b1baa31032a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:5.629ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big ]}}" loading="lazy"> durch Skalierung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{2m}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{2m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/507a2d308516e53cbae918fe770cb561c510082e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.495ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{2m}}" loading="lazy"> ist auch für andere Werte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> möglich, durch die besonders einfache Handhabung der 2 in binär dargestellten Zahlen wird selten ein anderer Faktor verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kettenbruch">Kettenbruch</h3></div>

Die oben angegebene Potenzreihe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)}" loading="lazy"> lässt sich auch als <a href="Kettenbruch" title="Kettenbruch">Kettenbruch</a> darstellen:<a href="#cite_note-Lorentzen_2008-8">[8]</a>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

<mfrac>

<mrow>

</mpadded>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

</mpadded>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31572e68086f30d74ce31b1dd2cc57b61ec563f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.338ex; width:55.844ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Additive_Zerlegung">Additive Zerlegung</h3></div>

Der natürliche Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> steht, wie im obigen Abschnitt erwähnt, mit dem <a href="Areatangens_hyperbolicus_und_Areakotangens_hyperbolicus#Definitionen" title="Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus">Areatangens hyperbolicus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {artanh} }">

<mi>artanh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17ac4feb3bc13f90ef6b4a5623a63e9f8e95a1c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} }" loading="lazy"> per

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56834bf7d2c85bece6f48da0a1679aa76c84feb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:34.018ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \ln x=2\operatorname {artanh} {\frac {x-1}{x+1}}\qquad \,(0<x)}" loading="lazy"></dd></dl>

in Beziehung, was nach der anderen Seite aufgelöst

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf79e45b69b5a6a01ece841ed464a185de22774.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:40.536ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} u={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+u}{1-u}}\qquad (-1<u<1)}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt.

Die Logarithmen der positiv-ganzzahligen Numeri lassen sich damit in aufsteigenden Einerstufen der Form

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a907736646a6c0d1304c91aad4899b8ee10bddb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:53.837ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n+1)&=\ln n+\ln {\frac {n+1}{n}}=\ln n+2\operatorname {artanh} {\frac {1}{2n+1}}\\&=2\sum _{\nu =1}^{n}\operatorname {artanh} {\frac {1}{2\nu +1}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

darstellen und ausrechnen. Dabei verbessert sich das Konvergenzverhalten der <a href="Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylorreihe</a>

<mi>artanh</mi>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/706dc7e88fdbf34aa81c6265e59f5483bb4196c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:54.157ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} u=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{2k+1}}{2k+1}}=u+{\frac {1}{3}}u^{3}+{\frac {1}{5}}u^{5}+{\frac {1}{7}}u^{7}+\ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

geringfügig mit wachsendem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n.}" loading="lazy">

Mithilfe des <a href="Areatangens_hyperbolicus_und_Areakotangens_hyperbolicus#Additionstheoreme" title="Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus">Additionstheorems</a>

<mi>artanh</mi>

<mi>artanh</mi>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb326900e024cdc44af31082d3407e8a720b066e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.032ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} {\frac {u+v}{1+uv}}}" loading="lazy"></dd></dl>

lässt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {artanh} }">

<mi>artanh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17ac4feb3bc13f90ef6b4a5623a63e9f8e95a1c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} }" loading="lazy"> und damit auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> additiv zerlegen.

So ergeben sich beispielsweise die folgenden Identitäten für die natürlichen Logarithmen der ersten Primzahlen.

Dabei werde der Übersichtlichkeit halber das Additionstheorem als Gruppengesetz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oplus }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oplus }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b16e2bdaefee9eed86d866e6eba3ac47c710f60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \oplus }" loading="lazy"><a href="#cite_note-9">[9]</a>

<mi>artanh</mi>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8803c85388db9e330101c7e99746073b6e15524.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:46.07ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle u\oplus v:=\tanh(\operatorname {artanh} u+\operatorname {artanh} v)={\frac {u+v}{1+uv}},}" loading="lazy"></dd></dl>

sowie seine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-fache Vervielfältigung als

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e14768c7455de6bccb217783923ed6d5cf9155a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:32.095ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle n\!\odot \!u:=\underbrace {u\oplus u\oplus \dotsb \oplus u} _{n{\text{-mal}}}=\bigoplus _{\nu =1}^{n}u}" loading="lazy"></dd></dl>

formuliert.

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b22175f19ada008642bc5e3b603c10bca24783d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.316ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 2\right)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\tfrac {1}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5a5d09c5f94da3bfd3729fd57383525ad5a3cde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.111ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle ={\tfrac {1}{3}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/928c1bdf157011ab7e93a3d31ad15ae485d63dae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.951ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{17}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61b049aee036f72a169e7d69cb9974faa04baabb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.374ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =\;\,7\!\odot \!{\tfrac {1}{19}}\;\ominus \;\;\,2\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbada2840dcbc36e33e519fe4d551d4c7654b1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.316ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 3\right)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24f521b3f5f4c740bebc0b96bc6955433641a111.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.111ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8815d322bebb4b98110831caa62e1680dcf7d8a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.18ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{7}}\;\oplus \;2\!\odot \!{\tfrac {1}{17}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0db9c18210d423de633644a188b40f941f6c235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.505ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =11\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;\;\,8\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;5\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfe93f1158550023b4db54cfd6616f4de307d5fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.316ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 5\right)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\tfrac {2}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba57e02c46dcb6eebf6fbbd4173dc6ceeef82015.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.111ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle ={\tfrac {2}{3}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbbeae37d51d2f18f340f624cf2f276b8175317c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.773ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =4\!\odot \!{\tfrac {1}{5}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{161}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feaf430f7972a83f66253ec352bd59c299d23e9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.635ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =16\!\odot \!{\tfrac {1}{31}}\;\oplus \;12\!\odot \!{\tfrac {1}{49}}\;\oplus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{161}},}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23ca7af447ae8c766319dfdb0808e95e99378e08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.316ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 7\right)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8469cda27f9a476e8a6180e190face618f3b458.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.111ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b18e7803e5073d41a52d2784b228ed7301bf67b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.951ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =3\!\odot \!{\tfrac {1}{3}}\;\ominus \;{\tfrac {1}{15}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aafa3a196d3a1fb82fcb309a1163a74f7414f57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:30.858ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =14\!\odot \!{\tfrac {1}{15}}\;\oplus \;\;\,6\!\odot \!{\tfrac {1}{97}}\;\ominus \;3\!\odot \!{\tfrac {1}{127}}}" loading="lazy">     sowie

</td></tr>

<tr>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b2a08a29f19b71739d31fe55c652c7588e5f605.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.479ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \tanh \left({\tfrac {1}{2}}\ln 11\right)}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ={\tfrac {5}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec4a9d64744ed1f6da141c4a5d71a0456ee6436d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.111ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle ={\tfrac {5}{6}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/421a94857ffdb9c9b6e1e3103fff1054415c36f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.951ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =2\!\odot \!{\tfrac {1}{2}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{10}}}" loading="lazy"></td>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8f47c1b400a82f39ccf8f3dc7002931d145ca58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.635ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle =24\!\odot \!{\tfrac {1}{23}}\;\oplus \;11\!\odot \!{\tfrac {1}{65}}\;\ominus \;7\!\odot \!{\tfrac {1}{485}}.}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

Für die praktische Rechnung sind Zerlegungen bevorzugt, deren Summanden eine Eins im Zähler haben.

Wie beim <a href="Arkustangens_und_Arkuskotangens#Additionstheoreme" title="Arkustangens und Arkuskotangens">Arkustangens</a> bleiben bei der Verdoppelung

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1625197d33bcf2d41c3745c3efc0715563820570.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:21.487ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}=2\!\odot \!{\tfrac {1}{2n}}\;\oplus \;{\tfrac {1}{4n^{3}-3n}}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Einsen im Zähler erhalten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grenzwerte_nach_Hurwitz">Grenzwerte nach Hurwitz</h3></div>

Für den natürlichen Logarithmus gelten die Grenzwerte

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7901ca277e9fe1a5be535f262d7d4a84fc51a3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:43.339ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

sowie gleichbedeutend damit

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ad0c8c0f9ac85229d341cae1be5215a0bc4bb25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:36.297ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t^{1-h}}}\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"></dd></dl>

die man leicht mit der <a href="Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital" title="Regel von de L’Hospital">Regel von de L’Hospital</a> bestätigt.

Hierauf basieren die von <a href="Adolf_Hurwitz" title="Adolf Hurwitz">Adolf Hurwitz</a> für den natürlichen Logarithmus angegebenen Grenzwerte der Folgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{n}}" loading="lazy">, die über

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b71df03ce2e84113f13e46c68a1c27632242df67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:20.908ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=2^{n}(x_{n}-1)\\b_{n}&=2^{n}\left(1-{\frac {1}{x_{n}}}\right),\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n+1}={\sqrt {x_{n}}}\quad {\text{mit}}\quad x_{0}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af9e8fc823ae12449059996976ab464a642da429.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:27.176ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{n+1}={\sqrt {x_{n}}}\quad {\text{mit}}\quad x_{0}=x}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert sind. Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588efdbdda8bd19e01717d23c3d13d0be6b14ad1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.071ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 1-{\tfrac {1}{x}}\leq b_{n}\leq a_{n}<x-1}" loading="lazy"> und weil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.448ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}}" loading="lazy"> monoton fallend und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{n}}" loading="lazy"> monoton wachsend ist, folgt die Konvergenz dieser beiden Folgen. Aufgrund von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}=b_{n}x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}=b_{n}x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c5d92da506843752d9f3e155ec1e7b78da71d52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.311ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}=b_{n}x_{n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{n}\rightarrow 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}\rightarrow 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a6c9bcc36648007a143437bee1d20971e06d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{n}\rightarrow 1}" loading="lazy"> ergibt sich die Gleichheit der beiden Grenzwerte:

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=\ln x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f791e1e3f51990d6500813069132b7460d5cab9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.483ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=\ln x.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für eine praktische Berechnung von ln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> sind diese Grenzwerte wegen der auftretenden <a href="Ausl%C3%B6schung_(numerische_Mathematik)" title="Auslöschung (numerische Mathematik)">Auslöschung</a> jedoch nicht gut geeignet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_einzelner_Ziffern">Berechnung einzelner Ziffern</h3></div>

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Logarithmus besteht darin, nacheinander die Ziffern des Logarithmus einer gewählten Basis zu bestimmen. Die aufwändigste Operation in diesem Verfahren ist ein schrittweises Potenzieren von Zwischenwerten mit der gewählten Basis als Exponent. Notwendige Divisionen durch Potenzen der Basis lassen sich durch Schiebeopertionen mit wenig Aufwand realisieren<a href="#cite_note-10">[10]</a>.

Wählt man 2 als Basis, kann dieses Verfahren sehr effizient per Software auch auf kleinen eingebetteten Systemen realisiert werden, auch in <a href="Festkommazahl" title="Festkommazahl">Festkomma-Arithmetik</a><a href="#cite_note-11">[11]</a>. Weiterhin ist es dann sehr gut für die Umsetzung in Hardware geeignet, z. B. in <a href="Field_Programmable_Gate_Array" title="Field Programmable Gate Array">FPGA</a>-Anwendungen.

Zunächst wird die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, deren Zweierlogarithmus im <a href="Dualsystem" title="Dualsystem">Dualsystem</a> bestimmt werden soll, durch Schieben auf einen Wert zwischen 1 und 2 normiert. Ist die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\geq 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\geq 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5e4cf59b5136062d043f79c2bf0c6af0443c1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.591ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\geq 2}" loading="lazy">, muss sie dafür nach rechts geschoben werden und die Anzahl der Schiebeschritte wird positiv gezählt. Ist die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f6c78a35f9b16dabbc40b39d4d1f2571ea5d3db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x<1}" loading="lazy">, muss sie hingegen nach links geschoben werden und die Anzahl der Schiebeschritte wird negativ gezählt.

Danach wird, wie weiter unten beschrieben, der Zweierlogarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> des normierten Werts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> bestimmt. Der Logarithmus der ursprünglichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ergibt sich dann als Summe aus der Anzahl der Schiebeschritte und dem Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> des normierten Werts.

Der Logarithmus von dem normierten Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> hat die Darstellung

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}(x)&=b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}}">

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext> wegen </mtext>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}(x)&=b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/049b231bc052be811449e9774f7ff74510bd2ecf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:55.343ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\log _{2}(x)&=b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\cdots =\sum _{k>0}b_{k}2^{-k}{\text{ mit }}b_{k}\in \{0,1\}\\\log _{2}(x^{2})&=b_{1},b_{2}b_{3}\cdots \qquad {\text{ wegen }}\quad \log(x^{2})=2\log x.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Quadrieren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> schiebt den Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> also um eine Binärstelle nach links, wodurch die Vorkommastelle möglicherweise Eins wird. Dies ist dann der Fall, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}\geq 2}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}\geq 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51474594487baeffcfa77f0f4086e8e864f94900.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}\geq 2}" loading="lazy"> ist. In diesem Falle wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> durch Division durch 2 wieder normiert, was keinen Einfluss auf die verbleibenden Nachkommastellen hat. Damit ergibt sich die folgende Skizze des Verfahrens:

<pre>INPUT 1 ≤ x < 2

OUTPUT Nachkommastellen bi der Binärdarstellung von log2(x)

</pre>

<pre>i ← 0

LOOP

i ← i + 1

x ← x2

IF x ≥ 2 THEN

x ← x / 2

bi ← 1

ELSE

bi ← 0

END IF

END LOOP

</pre>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analogrechner">Analogrechner</h3></div>

Zur Berechnung des Logarithmus mithilfe eines <a href="Analogrechner" title="Analogrechner">Analogrechners</a> – also etwa der Erzeugung einer elektrischen <a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">Ausgangsspannung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{\text{a}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{\text{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/473c4c041c2b42e081cbe453e19d0fde01dedef7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{\text{a}}}" loading="lazy">, die den Logarithmus des Nennwerts der Eingangsspannung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{\text{e}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{\text{e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4b1608e5ac74fb6ba1698718e3e1501138ebf51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.55ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{\text{e}}}" loading="lazy"> annimmt – kann man sich den exponentiellen Verlauf der <a href="Strom-Spannungs-Kennlinie" title="Strom-Spannungs-Kennlinie">Strom-Spannungs-Kennlinie</a> einer <a href="Diode" title="Diode">Diode</a> zunutze machen. Die nebenstehende Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Logarithmierers mit einem <a href="Operationsverst%C3%A4rker" title="Operationsverstärker">Operationsverstärker</a>, einer Diode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> und einem <a href="Widerstand_(Bauelement)" title="Widerstand (Bauelement)">Widerstand</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Komplexer_Logarithmus">Komplexer Logarithmus </h2></div>

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">, welche die Gleichung

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{w}=z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faa512b308724a895fcba46cd336be46349c6093.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.628ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{w}=z}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">. Für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37a6cfed1fe3cc959d035fdec992914b3172edd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}" loading="lazy"> existiert ein solches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy">, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6054ae473b8fc415b08fa361e5f286f9c31aa71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.562ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy">,</dd></dl>

nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> gefunden, so ist damit auch

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac12b99b177ac13d9b3e911d677416a3e55a4e56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.304ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i} }" loading="lazy"></dd></dl>

mit jeder ganzen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ein Logarithmus von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">, denn es gilt

<msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b79bf1d4ea5e69b06778e5e27371edd1e4a99a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:42.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z}" loading="lazy">.</dd></dl>

Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z. B. den Streifen

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04d7f0a8e7c5e0fd3721b28be139bc0f5706e4ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

verwenden. Ein Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> aus diesem Streifen heißt Hauptwert (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> principal value) des Logarithmus, und man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=\ln z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=\ln z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0c209ede313c304a8d0d0404d88123fca98f383.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.177ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle w=\ln z}" loading="lazy">.

Stellt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eee1c2fc82bea95905c659c54464ef92205d0da0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.802ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}}" loading="lazy"> in <a href="Komplexe_Zahl#Darstellung_von_komplexen_Zahlen_in_der_komplexen_Zahlenebene" title="Komplexe Zahl">Polarform</a> dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweiges der Logarithmusfunktion:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/087081cc7c65f3c1ee96ddf7a8213a36da32eceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.758ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"></dd></dl>

mit der <a href="Komplexe_Zahl#Darstellung_von_komplexen_Zahlen_in_der_komplexen_Zahlenebene" title="Komplexe Zahl">Argument-Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arg }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec03a9c123925f400a40064ca491d268f9312956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.237ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \arg }" loading="lazy">. Im Summanden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln |z|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln |z|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a32986699652205e67b8e5c72e8ad6a40701cc16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.708ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln |z|}" loading="lazy"> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> verwendet.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> erhält man den Hauptzweig des komplexen Logarithmus zurück:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce34a2e32dedde33dcd835ad185ab1d086388899.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z}" loading="lazy"> .</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> ist nicht stetig auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91caa89c0163b2f76279b22233ea55460f82a63b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}" loading="lazy">. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> auf dem Gebiet

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6cccb1c76f3aa5805bb75da8ae1a3e7989847d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.574ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}}" loading="lazy"></dd></dl>

stetig und sogar <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">holomorph</a>.

<dl><dt>Zur Beachtung</dt></dl>

Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln }" loading="lazy"> gelten nicht alle der weiter oben angeführten <a href="#Logarithmengesetze">Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion</a>. Sie gelten nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\text{mod }}2\pi \mathrm {i} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{mod }}2\pi \mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/119a6e3678897bbe5fb4d7e613ffc49bbdf77172.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.113ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\text{mod }}2\pi \mathrm {i} }" loading="lazy">.

Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion.

Der Vergleich von

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37460d6ae1b7691ff08eaf6516a8716e23a6b29d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:72.117ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i} }" loading="lazy"></dd></dl>

mit

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a605735211150df7855a4a2d7af43f5117634525.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.698ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }" loading="lazy"></dd></dl>

zeigt, dass

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a01dea45039fa8526c49edbd985b56c359c4a31d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.99ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)}" loading="lazy"></dd></dl>

nicht für alle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> verschiedenen komplexen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> richtig ist. Auch die Gleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8228ca0b5e4b46d912d4d4c19ee8fa49b26c2f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.295ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55bb1634644d3de6c2d088a158387eb46609a5e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.599ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })}" loading="lazy"></dd></dl>

beweist.

<li class="gallerycaption">Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus</li>

<div class="gallerytext">Betrag von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a1668203dbe173e0ff29584427a18097ea1235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.415ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln z}" loading="lazy"></div>

</li>

<div class="gallerytext">Realteil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a1668203dbe173e0ff29584427a18097ea1235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.415ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln z}" loading="lazy"></div>

</li>

<div class="gallerytext">Imaginärteil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a1668203dbe173e0ff29584427a18097ea1235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.415ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ln z}" loading="lazy"></div>

</li>

</ul>

Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9945573c0c1af183827daebdee6eaf2dc794a90d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.931ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .}" loading="lazy"></dd></dl>

Das setzt voraus, dass die <a href="Komplexe_Zahl#Darstellung_von_komplexen_Zahlen_in_der_komplexen_Zahlenebene" title="Komplexe Zahl">Argument-Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arg }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec03a9c123925f400a40064ca491d268f9312956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.237ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \arg }" loading="lazy"> negativen reellen Zahlen den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"> zuweist.

Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der <a href="Komplexe_Zahl#Darstellung_von_komplexen_Zahlen_in_der_komplexen_Zahlenebene" title="Komplexe Zahl">Argument-Funktion</a> zurückzuführen ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Diskrete_Logarithmen">Diskrete Logarithmen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Diskreter_Logarithmus" title="Diskreter Logarithmus">Diskreter Logarithmus</a></div>

Diskrete Logarithmen sind Lösungen von Gleichungen der Form

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\circ a\circ \dotsb \circ a} _{n{\text{-mal}}}=b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ab73c1e2fbeea60e5a251f9c5a48b954e325ede.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:22.64ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\circ a\circ \dotsb \circ a} _{n{\text{-mal}}}=b}" loading="lazy"></dd></dl>

über einer endlichen <a href="Zyklische_Gruppe" title="Zyklische Gruppe">zyklischen Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (G,\circ )=\langle a\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (G,\circ )=\langle a\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65307a3feb22769aa4198d31afa974db78c0d845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.97ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (G,\circ )=\langle a\rangle }" loading="lazy">.

Der diskrete Logarithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> zur Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist <a href="Modulo" class="mw-redirect" title="Modulo">modulo</a> der <a href="Gruppenordnung" class="mw-redirect" title="Gruppenordnung">Gruppenordnung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> eindeutig bestimmt und existiert – da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ein Erzeuger der Gruppe ist – für alle Elemente der Gruppe.

Diskrete Logarithmen sind im Sinne der <a href="Komplexit%C3%A4tstheorie" title="Komplexitätstheorie">Komplexitätstheorie</a> für viele Gruppen aufwändig zu berechnen und finden Anwendung in der <a href="Kryptographie" title="Kryptographie">Kryptographie</a>, etwa in auf <a href="Elliptic_Curve_Cryptography" title="Elliptic Curve Cryptography">elliptischen Kurven basierenden Kryptosystemen</a>.

Beispiel:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{x}{\bmod {1}}1=5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cfdfa2be9ba329e0746a27bfe964ba71ca2d8ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.602ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{x}{\bmod {1}}1=5}" loading="lazy"></dd></dl>

hat als Lösung den Wert 4, denn es gilt 24 = 16, und 16 lässt den Rest 5 bei <a href="Division_mit_Rest" title="Division mit Rest">Division mit Rest</a> durch 11. Die Lösung ist eindeutig modulo 10, also modulo der Gruppenordnung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {Z} \,/\,11\,\mathbb {Z} )^{\times }}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {Z} \,/\,11\,\mathbb {Z} )^{\times }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c24842ed97f9b372217c3997e22e4248e8cb66dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {Z} \,/\,11\,\mathbb {Z} )^{\times }}" loading="lazy">. Dementsprechend ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\pm 10}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\pm 10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a834e2bb746b646f5f17e615485b7a62cc0545.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.495ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\pm 10}" loading="lazy"> eine Lösung der Kongruenz.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Charles Naux: Histoire des Logarithmes de Neper a Euler. Tome I, II. Blanchard, Paris 1966, 1971.</li>

<li>Wolfgang Walter: Analysis I. Grundwissen Mathematik. Band 3. Springer, Berlin 1985, ISBN 3-540-12780-1.</li>

<li>Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3.</li>

<li><a href="Ilja_Nikolajewitsch_Bronschtein" title="Ilja Nikolajewitsch Bronschtein">I. N. Bronstein</a>, <a href="Konstantin_Adolfowitsch_Semendjajew" title="Konstantin Adolfowitsch Semendjajew">K. A. Semendjajew</a>, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Taschenbuch der Mathematik</cite>. 10., überarbeitete Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5790-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmus&rft.btitle=Taschenbuch+der+Mathematik&rft.date=2016&rft.edition=10.%2C+%C3%BCberarbeitete&rft.genre=book&rft.isbn=9783808557907&rft.place=Haan-Gruiten&rft.pub=Europa-Lehrmittel" style="display:none"> </li>

<li><a href="Ernst_Hairer" title="Ernst Hairer">Ernst Hairer</a>, <a href="Gerhard_Wanner_(Mathematiker)" title="Gerhard Wanner (Mathematiker)">Gerhard Wanner</a>: <cite style="font-style:italic">Analysis in historischer Entwicklung</cite>. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmus&rft.au=Ernst+Hairer%2C+Gerhard+Wanner&rft.btitle=Analysis+in+historischer+Entwicklung&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783642137662&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Exponential_und_Logarithmus_Funktion/_Logarithmus" class="extiw external" title="b:Mathematrix: Kompass/ Exponential und Logarithmus Funktion/ Logarithmus">Wikibooks: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}">

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f3bc3a8be9094ed6450336c9d0029276df282b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}" loading="lazy"> Mathematik für die Schule</a> – Logarithmus</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Arithmetik:_Erweiterte_Rechenarten:_Logarithmus:_Logarithmengesetze" class="extiw external" title="b:Beweisarchiv: Arithmetik: Erweiterte Rechenarten: Logarithmus: Logarithmengesetze">Wikibooks: Logarithmengesetze</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Logarithmus" class="extiw external" title="wikt:Logarithmus">Wiktionary: Logarithmus</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query=4168047-9">Literatur von und über Logarithmus</a> im Katalog der <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">Deutschen Nationalbibliothek</a></li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html">Logarithm.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160203034101/http://www.madeasy.de/2/log.htm">Logarithmen</a>, Archivlink abgerufen am 23. Dezember 2025</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematik.net/logarithmen/0-inhalt-1.htm">Logarithmen und Logarithmusgesetze.</a> (Onlinekurs, Übungen, Applets und Links)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Zum Beispiel C. Knott (Hrsg.): Napier Tercentenary Volume. 1915, S. 83 f.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Kathleen Clark, Clemency Montelle: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/logarithms-the-early-history-of-a-familiar-function-before-logarithms-the-computational-demands-of">Logarithms. The early history of a familiar function.</a> Auf: MAA.org.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> John Napier: Mirifici logarithmorum canonis descriptio ejusque usus in utraque trigonometria etc. Edinburgh 1614 <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.17centurymaths.com/contents/napiercontents.html">Englische Übersetzung von Ian Bruce von Napier: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. u. a.</a>

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Jeff Miller: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jeff560.tripod.com/l.html">Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L).</a> Abgerufen am 29. August 2009 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALogarithmus&rft.title=Earliest+Known+Uses+of+Some+of+the+Words+of+Mathematics+%28L%29&rft.description=Earliest+Known+Uses+of+Some+of+the+Words+of+Mathematics+%28L%29&rft.identifier=http%3A%2F%2Fjeff560.tripod.com%2Fl.html&rft.creator=Jeff+Miller&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dtmath.net/citations">Citations - Pierre-Simon De Laplace (1749–1827).</a> Abgerufen am 14. Juni 2018 (französisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALogarithmus&rft.title=Citations+-+Pierre-Simon+De+Laplace+%281749%E2%80%931827%29&rft.description=Citations+-+Pierre-Simon+De+Laplace+%281749%E2%80%931827%29&rft.identifier=http%3A%2F%2Fwww.dtmath.net%2Fcitations&rft.language=fr">

</li>

<li id="cite_note-Wissenschaftliche_Zeitschrift_der_Humboldt-Universität_zu_Berlin-6"><a href="#cite_ref-Wissenschaftliche_Zeitschrift_der_Humboldt-Universität_zu_Berlin_6-0">↑</a> Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Lothar Kusch: Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.

</li>

<li id="cite_note-Lorentzen_2008-8"><a href="#cite_ref-Lorentzen_2008_8-0">↑</a> L. Lorentzen, H. Waadeland: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-94-91216-37-4%2F1">A.2.2 The exponential function.</a> (PDF; 432 kB) Continued Fractions. Atlantis Studies in Mathematics, 2008, S. 271. <a href="https://doi.org/10.2991/978-94-91216-37-4" class="extiw external" title="doi:10.2991/978-94-91216-37-4">doi:10.2991/978-94-91216-37-4</a>.

</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1494d5d222bc80846ce45e804a38b0ea37e846b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tanh }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {artanh} }">

<mi>artanh</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {artanh} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17ac4feb3bc13f90ef6b4a5623a63e9f8e95a1c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {artanh} }" loading="lazy"> <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktionen</a> voneinander sind, sind die <a href="Gruppenaxiome" class="mw-redirect" title="Gruppenaxiome">Gruppenaxiome</a> leicht nachgerechnet. Das Inverse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ominus u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ominus u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b14c2d8473eb1b8018e35bf866371a1dc163d923.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ominus u}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> ist wegen der <a href="Gerade_und_ungerade_Funktionen" title="Gerade und ungerade Funktionen">Ungeradheit</a> dieser Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =-u.}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =-u.}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbae144641239af42768933e02201857c00c0841.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.238ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle =-u.}" loading="lazy">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Mayer Goldberg: <cite style="font-style:italic">Computing Logarithms Digit-by-Digit</cite>. In: <cite style="font-style:italic">BRICS Report Series</cite>. RS-04-17. BRICS, Department of Computer Science University of Aarhus., September 2004, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220909-0878%22&key=cql">0909-0878</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.brics.dk/RS/04/17/BRICS-RS-04-17.pdf">brics.dk</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmus&rft.atitle=Computing+Logarithms+Digit-by-Digit&rft.au=Mayer+Goldberg&rft.date=2004-09&rft.genre=journal&rft.issn=0909-0878&rft.jtitle=BRICS+Report+Series&rft.pub=BRICS%2C+Department+of+Computer+Science+University+of+Aarhus.&rft.volume=RS-04-17" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Clay S. Turner: <cite style="font-style:italic">A Fast Binary Logarithm Algorithm</cite>. In: <cite style="font-style:italic">IEEE Signal Processing Magazine</cite>. Issue 5. IEEE, September 2010, S. 124 - 140 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.claysturner.com/dsp/binarylogarithm.pdf">claysturner.com</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Logarithmus&rft.atitle=A+Fast+Binary+Logarithm+Algorithm&rft.au=Clay+S.+Turner&rft.date=2010-09&rft.genre=journal&rft.issue=Issue+5&rft.jtitle=IEEE+Signal+Processing+Magazine&rft.pages=124+-+140&rft.pub=IEEE" style="display:none">

</li>

</ol>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4168047-9">4168047-9</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85078091">sh85078091</a> | <a href="Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00572566">00572566</a> </div>

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